Wir haben im letzten Video eingeführt, was

trigonalisierbarkeit einer Matrix bedeutet und haben ein Kriterium eingeführt, dass es uns

erlaubt zu entscheiden, ob eine Matrix trigonalisierbar ist. Als kleines Corollar hatten wir festgehalten,

dass jeder Endomorphismus über dem Körper C aufgefasst, also über den komplexen Zahlen,

immer trigonalisierbar sein muss. Das liegt einfach daran, dass der Fundamentalsatz der Algebra

uns sagt, dass jedes Polynom in den Ja-Faktoren zerfällt. Jetzt haben wir verstanden, was

trigonalisierbarkeit bedeutet und woran wir erkennen, ob eine Matrix trigonalisierbar ist.

Wir haben aber noch nicht angegeben, wie man eine Matrix wirklich algorithmisch in diese

obere rechte Dreiecksgestalt überführt und wie wir die entsprechende Transformationsmatrix

bestimmen können. Das wollen wir im heutigen Video machen. Wir beschäftigen uns also mit einem

Algorithmus, der es uns erlaubt, eine beliebige Matrix, die trigonalisierbar ist, in eine

obere rechte Dreiecksmatrix zu überführen. Das heißt, wir machen jetzt folgenden Algorithmus,

trigonalisierung einer Matrix und wir wollen das Ganze konstruktiv Schritt für Schritt langsam

erklären, damit klar wird, wie das funktioniert. Dieses Konstruktionsverfahren basiert auf dem

Beweis des trigonalisierungs Satz, den wir ausgelassen haben, um Zeit zu sparen, da wir

eh diesen Algorithmus explizit besprechen. Das heißt, wir beginnen damit, eine beliebige

N-Kreuz-N-Matrix zu betrachten, sei A über dem Körper K N-Kreuz-N eine Matrix, die trigonalisierbar

ist und wir wissen, das Kriterium dafür ist, dass das charakteristische Polynom zerfällt.

Dessen charakteristisches Polynom P A in Linearfaktoren zerfällt. Das heißt, wir können

das Ganze schreiben mit den Eigenwerten in der Form P A von T ist gleich plus minus T minus lambda

1 mal bis T minus lambda N. Und wir sagen, auch die Eigenwerte müssen nicht paarweise verschieden

sein, denn wenn sie paarweise verschieden wären, dann müssten wir diese Matrix sogar diagonalisierbar,

wobei die Eigenwerte lambda 1 bis lambda N aus K nicht paarweise verschieden sein müssen.

Und die Aufgabe, die wir uns jetzt stellen, ist, wir versuchen eine Transformationsmatrix

S zu bestimmen, sodass wir die Matrix A in obere rechte 3x-Form bringen. Das heißt, gesucht

Matrix S aus Liniengruppe, wie war die Notation, N Kreuz N über dem Körper K, sodass wir folgende

Transfersion machen können, nämlich D ist gleich S angewendet auf A von rechts multipliziert S

in Vers, wobei D eine rechte oder obere rechte 3x-Matrix ist. Es soll also in dem folgenden

Algorithmus darum gehen, dieses S zu bestimmen. Gut, wie gehen wir davor? Die Idee ist recht simpel.

Wir fangen immer mit der Einheitsbasis des Körpervektorraums K hoch N an. Wir berechnen

zu einem Eigenwert einen zugehörigen Eigenvektor und tauschen ein Element der kanonischen

Einheitsbasis gegen diesen Eigenvektor aus. Und das erleichtert es uns, die Spalten nach und nach

in eine rechte obere 3x-Form zu bringen, wie wir sehen werden. Und das macht man sukzessive N minus

einmal, bis man schließlich angekommen ist bei einer rechten oberen 3x-Matrix. Das heißt, im ersten

Schritt wählen wir den folgenden Vektorraum. Wir betrachten den Vektorraum W1, den definieren

wir uns als K hoch N mit der kanonischen Einheitsbasis. Die können wir angeben als,

nennen wir in dem Fall B1, bestehend aus den Einheitsvektoren E1 bis EN. Und wir berechnen zu

allererst ein Eigenvektor V1 zum Eigenvektor Lambda 1. Das würde man durch lösen des homogenen

linearen Gleichungssystems machen, man bestimmt also den Kern. Da wir das hier allgemein halten,

brauchen wir das nicht durchführen. Wir berechnen den zugehörigen Eigenvektor V1 aus K hoch N zum

Eigenwert Lambda 1 aus K. Wir wissen jetzt nach dem Basiswechselsatz, dass wir ein Element der

kanonischen Einheitsbasis austauschen können gegen diesen bestimmten Eigenvektor V1 und dennoch

eine Basis des Vektorraums W1 erhalten. Das heißt nach dem Basis-Austauschlemmer können

wir ein Index bestimmen. Ich nenne ihn jetzt hier mal J1, so dass wir den Einheitsvektor,

den Einheitsvektor EJ1, der Basis B1 austauschen können. Das ist die wichtige D hier

und wieder eine Basis erhalten von V1 erhalten. Diese Basis können wir uns definieren als Basis

B2, zu der wir übergehen. Das heißt wir definieren nun die Basis B2 gerade als den Eigenvektor,

den wir bestimmt haben, V1. Dann kommen die beliebigen Einheitsvektoren, die wir noch aus der

alten Basis haben. Ich schreibe hier E1 und mal angenommen, dass dieser noch erhalten ist. Und

hier war der Einheitsvektor, den wir jetzt ausgetauscht haben, EJ1. Ich mache hierüber ein